超難問!?「6÷2(1+2)」

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こんにちは、小山です。

タイトルにもある問題ですが、皆さん答えがいくつになるかわかりますか?

 

実はこの問題、10年ほど前にインターネットで話題となった問題で

数百万人が答えているのですが、答えが1になる人と9になる人で真っ二つに分かれた問題なのです。

この式は6÷2×(1+2)ということなので四則計算の順序にのっとって左にある6÷2を先に計算すると9となります。

しかし、1と答える人が続出したのです。

出題者は9が正しい回答だとして問題をだしていました。

これに著名な数学者たちも物申しだしました。

(1+2)をxとおくと、この式は6÷2xという形になります。

これを計算すると3/xとなりxを(1+2)に戻すと式が3/3となり答えは1となるのです。

つまり、2(1+2)の部分を一つのまとまりとみて計算するということですね。

なぜこのようなことになったかというと、

そもそも問題に不備があったということなのです。

掛け算の記号の×は文字を含む式では省略できるが、数字だけで構成される数式では省略できないのです。

なので、2×(1+2)という式を2(1+2)と表すことは本来できないのです。

今では式自体の不備を直すためにGoogleなどの電卓機能でこの式を入れると

勝手に

{6÷2}×(1+2) と式が変更されて計算されるようになっています。

この問題、あまりにも有名すぎてwikipediaで記事も作られています。

気になった方はぜひ探してみてくださいね!

125

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こんにちは!

今日は12/5(木)です。数字を並べると125。125は「立方数」と呼ばれる「同じ数を3回続けてかけた数」の仲間です。

小さいほうから順に並べると1,8,27,64,125・・・

125を分解すると

125=5×5×5

と変形できる(5を3回かけている)ので先述の「立法数」だとわかります。

また、125はかけ算の形に直すとき、5×5×5の形より細かくすることができません。

このように、「これ以上細かく分解できないかけ算」に変形することを「素因数分解」と呼びます。

去年まではこの「素因数分解」は中学3年生の単元だったのですが、今年からなんと1年生の単元に変わりました。

今年の春先は中3生と中1生が並んで同じ内容の学習をしているという奇妙な光景が見られました。

数年に一度起こることですが、なんとなく1年生が得意顔に見えて面白いです(笑)

12/5→125→立方数、とむりやり数学に結び付けて記事にしてみましたがいかがだったでしょうか?

高校生にとっては大事な知識である立法数。お時間あるときに掘り下げてみてはいかがでしょうか?

 

←高校生は「数列」という単元でこんなことします。

数学よもやま話⑧文章題と四則演算

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「かんぽ」とは簡易生命保険の略である。

こんにちは、松本です!

7月も半ばを過ぎ、徐々に中学校で習っている数学も難しくなってまいりました。

中学1年生は、文章を読み取り、文字を用いた式を作ることにみな苦戦中です。

文章題はもともと小学1年生の頃から取り組んでいるため、真新しい問題というわけではありません。

それにもかかわらず、苦手と感じる生徒さんが多いのはなぜでしょうか。

理由の1つに、小学校低学年のうちは「文章を読み取らなくても答えが出せてしまう文章題」が圧倒的に多いことが挙げられます。

足し算を習っているときの文章題ならたし算、割り算を習っているときの文章題なら割り算、のように、なんとなくで答えを出せてしまうわけです。

たし算とかけ算は足す順序を逆にしても答えは同じですし、引き算や割り算についても数字を逆にしてしまったときの違和感に気付く生徒さんは多いです。(3-5が引けない、7÷21が割り切れないなど)

つまり、文章題に対して文章の意味を読解する練習をしてこなかったということになります。

そしてもう1つの理由に、「文章題=難しい」というイメージが先行し、考えようという気持ちが沸き起こってないというのがあります。

「これはわたしには無理だ」という気持ちがあると、本来学べることでさえ、吸収しにくくなってしまいます。

じゃあどうすれば文章題に強くなれるのか。

もちろん「これだけやっておけば」というような万能な回答はありません。

ですが、しいて1つ挙げるのであれば、

まず「引き算の感覚」を身に付けること、これだと思います。

私たちは生活の中で実に多くの引き算を使っています。数字だと当たり前のこの感覚も文章題や文字式だと鈍りやすいです。

ひき算は「減る、少なくなる」以外にも、「ちがい」を調べたり、「残り」を求めるのに大活躍します。

特に「残り」という考えは、「お釣りはいくら」や「学校まであと何km」のような問題で幾度となく登場します。

もし文章題が苦手だなと思っている人は、まずは引き算を意識するようにしてみてください!

数学よもやま話⑦単位変換のイメージ

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長さの単位は国際単位系ではメートル法となっているが、アメリカではヤードもまだ使われている。

こんにちは、松本です!

今日の数学よもやま話は「単位変換」についてです。

1km=1000m のように、同じ数量を別の単位に書き換えることです。

1L=10dL、1t=1000kg、1時間=60分など、いろいろな単位変換があります。

小学校では一通り習うのですが、中学校以降ではあまり登場しなくなる単位もあります。

a(アール)やdLがそれにあたります。

そのため、覚えておかなければいけない単位変換は、実はそこまで多くはありません。

それでも、まだ覚えてない人にとってしっかりと覚えきるのは簡単ではありません。

10,100,1000のように似た数字ばっかりなんですよね。円周率のように3.14なら忘れない人の方が多いのですが。

ということで、今日はそんな単位変換の「方法」・・・ではなく、「イメージ」を伝えようと思います。

さきほども言いましたが、まず最初の難関が10なのか100なのか1000なのか何なのか、ということ。

1cm=10mm、1m=100cm、1km=1000m、全部数字がちがいます。

丸暗記できるのであればそれでいいと思います。でも、実は私もそんなに丸暗記してる印象はありません。

実は、身近なものでイメージすることで間違えないようにしています。

1cm=10mmは、定規の目盛りをイメージします。

1m=100cmは、身長をイメージします。

1km=1000mは、マラソン大会をイメージします。

身長が1800cmなんて聞いたことがないですし、マラソン大会が100mだったら短すぎておかしいって気付けますもんね。

このようにイメージを持つことで、変換のミスはかなり減らすことができます。

次は中学生向けに単位変換の話をしたいと思います。

中学生にとっては1km=1000mということはわかっても、今度はxmをkmに直すときに1000かけるのか1000でわるのか悩んでしまうことがあると思います。

ここで大事なのは「お金の両替」のイメージです。

1000円札という大きい単位を、100円玉という小さい単位に変えると、金額は同じでも「枚数」はどうなりますか?

100円玉のほうが多くなりますよね。

ですから、km→mや時間→分のように大きい単位から小さい単位に変える時は、数字自体は大きくなります。

逆に小さい単位から大きい単位に変える時は、数字が小さくなるということです。

身近な数量でイメージをもつことと、両替のイメージで数字の大小を把握する。

この2つのイメージでややこしい単位変換を乗り越えていきましょう!

数学よもやま話⑥誤答の正し方

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10問の2択問題を適当に答えて5問以上正解する確率は5割を超える。(約62%)理由は・・・

こんにちは、松本です!

今日は数学の解きなおしについてのお話。

数学という科目は5教科の中で一番「解きなおす」ことに意味がある教科だと。私は思っています。

ただの暗記問題ではないので、計算をしていくプロセスの中でどこを間違えていたかを把握することが重要だからです。

そして、その「答えを直すとき」に個人差が出ています。

自分の間違えた答えの上に赤で上書きする人。これは、もとの誤答も正しい正答も見づらくなり、ただ「赤で直した」という事実しか把握できません。

前のミスを消しゴムでしっかり消してから、正答を書く人。これだと以前の誤答がわからなくなってしまい、自分のミスの傾向がつかめなくなってしまうかもしれません。

誤答の近くにあらためて正答を書く人。個人的にはこれを一番おすすめしています。誤答も正答もどちらも見やすく、比較しやすいですからね。

数学のテストが返ってきたら、まずは以上のことに気を付けて解きなおしをしっかりするようにしましょう。

数学よもやま話⑤見直しの精度

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各位の数の和が9の倍数になる数は、その数自身も9の倍数である。例)378 →3+7+8=18

こんにちは、松本です!

テストの余った時間でやることと言えば、落書き・・・ではなく、そう見直しです!

算数や数学のテストでケアレスミスが多い生徒さんの場合、よくお母さんから「うちの子、見直しを本当にしなくて・・・」と聞きます。

見直しを1から10まで全部できたら素晴らしいことですが、それは現実的には厳しいことです。時間制限もありますしね。

ですから、すべての問題を解き直すのではなく、間違えてる答えの違和感に気付くことが重要になります。

例えば下の式、

(+57)×(-13)=741

この答えは間違っています。正解は-741です。+と-をかけたら-になるので、符号のミスにはぜひとも気付いてほしい。

では、次の式、

(-24)×(-14)=338

これも間違っています。答えがいくつか暗算でわからなくても間違っていることは明白なのです!

見抜くポイントは「一の位」です。4と4をかけて8になるわけがないのです。16の「6」が一の位に残るはずなのです。

こういった「違和感(誤答)に気付くセンサー」を持っているか、もっと言えばセンサーを常に張り巡らせているかが重要なのです。

自分が見直し下手だと思っている人は、こういったポイントを押さえてあらためて見直しをしてみるようにしましょう!

数学よもやま話④同類項をまとめる

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22÷7の答えは、3.14よりも円周率に近い。

こんにちは、松本です!

期末テストも近くなり、中学1年生の数学では、正負の数の勉強が一段落した頃かと思います。

次に学習するのが「文字と式」です。

ここでは、新しく文字を交えて計算が登場します。

その中で中盤に出てくるのが、同類項をまとめる計算。こう書くと難しく聞こえますが、実は小学生でもイメージしやすい計算でもあるのです。

例えば、次の文字式の計算を見てください。

3x+4x

当然答えは「7x」です。

この問題、「x」を「m」に変えると、小学生も自然に解けるようになります。

3m+4m

一見、文字の種類が変わっただけのように見えますが、実は何も言わずに小学生にこの式を見せると、「3メートル+4メートルに見えて、普通に7メートル、つまり7mと解答できるのです。

わざわざ難しい説明を使わずに、すでに持っている力だけで計算できるのです。

もちろん「1m」を「m」と表記するような、文字式独特のルールもありますが、イメージをつかむ上ではまったく問題がないというわけです。

自分の持つイメージを最大限活用して、徐々に難しくなっていく数学も乗り越えていきましょうね!

数学よもやま話③法則への気づき

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本屋に行くとトイレに行きたくなる現象のことを、青木まりこ現象という。

こんにちは、松本です!

毎週月曜日は算数・数学に特化した話ということで、今日は「法則」の話。

算数・数学が得意な人はこの「法則」を見抜いたり使いこなすのが上手です。

こういった法則というのは、英語では「文法」、国語では「漢字」などで使っている場面が多々あります。

「英文『法』というくらいだから、英文法で法則が使われているのはわかるけど、漢字も?」

と思った方は次の漢字を見てください。

犠牲

この字は何と読むでしょうか?

正解は「ぎせい」です。大人なら普通に読めたのではないでしょうか。

この漢字、実は中学2年生で習うのですが、小学生の正答率はかなり高いのです。

その理由はどちらも音を表す部分があるからです。

犠のつくりの義は「ギ」と読み、牲のつくりの「生」は「セイ」と読みます。

つまり知らない字でも、読み方を予想しやすい部類なのです。(このルールが必ずしもあてはまるわけではありません。柱はチュウでも主はシュのように)

そして法則に気づきやすい子はこの法則を利用して、読めない漢字の場合は音読みをあてて答えるようにしているのです。

実際それで正答率はかなり高まります。

こういった法則を「自ら見つけることができる」人は、勉強だけでなくゲームやパズルが得意な傾向があります。

算数や数学の問題も「ゲームのステージ」の1つと思って、取り組んでみてください!

テストという大会でハイスコアを目指そうではありませんか!

数学よもやま話②数的感覚のお話

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198円や29,800円のようなキリのいい数から少し欠ける金額にするとお得に感じる。これを端数効果という。

こんにちは、松本です!

毎週月曜は「算数・数学に特化したお話」の第2回です。

今日のお話は「数的感覚」についてです。

これは超数学館MATCHが掲げている、算数・数学だけでなく世の中の様々なことに対してとても重要になる感覚のことです。

数字から具体的なイメージを持つことができ、またそれを他の形で具現化できる感覚、といったところでしょうか。

中学1年生の数学で次のような問題があります。

「高崎のある日の最低気温は-3℃で、最高気温は8℃です。最低気温と最高気温の差は何℃ですか。」

中学1年生以上のみなさんには即答できてほしいです! 正解は11℃です。

誤答の中で一番多いのは、「5℃」です。単純に8と-3をあわせたのだと思います。

計算ミスや勘違いをしてしまうことは誰でもありますし、それがダメということではありません。もちろん、テストでしてほしくはありませんが。

大事なのは、8と-3が5しか離れてないことがおかしい、と気付けることです。

だって8と0ですら8も離れているのですから。

そしてこれが数的感覚の第一歩なのです!

数字の違和感に気付くということは、自分の持っている感覚に対して「おかしいぞ」と反応できたということです。

では、最後にちょっとした問題です。

80℃と60℃のお湯を混ぜたら何℃ぐらいになるのか。

1500円の60%は750円より高いのか、安いのか。

面積が55平方cmの正方形の1辺の長さはだいたい何cmか。

正確な答えはいりません。すぐにイメージできましたか?

機会があったらぜひ数字をイメージする練習をしてみてくださいね!

数学よもやま話①算数は2冠達成

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小学生の好きな科目第1位は算数で、嫌いな科目第1位も算数である。(2016年小学生白書:学研ホールディングス調べ)

こんにちは、いつも週の頭の月曜日のブログを担当しております、松本です!

今週からこの月曜日のブログでは、超数学館らしく「算数・数学に特化したお話」をさせていただこうと思っております。

記念すべき第1回は、「算数という科目の特異性」についてお話したいと思います。

冒頭の雑学でも触れましたが、算数は好きな科目でも嫌いな科目でも1位になっています。

これは算数という科目が、「わかる(解ける)ようになるとどんどんわかるようになり、逆にわからなく(解けなく)なるとどんどんわからなくなる科目」であることを意味しています。

つまり、得意と不得意の二極化が起きやすいのです。

例えば、2年生のときに九九を覚えきれてない生徒は、3年生の割り算でも苦労をすることになります。

別に割り算を敬遠したわけでもさぼっていたわけでもないのに、時間がかかったりわからなくなったりしてしまうのです。

算数や数学のクラスで習熟度別のクラス分けが多く取り入れられてるのには、そういった背景があります。

そうでないと、先生も授業のフォーカスをどこに合わせてよいかわからなくなってしまうことでしょう。

では、算数の苦手を克服するにはどうしたらよいか。

そのための方法として、「あえて1年生のドリルまで戻る」、というのを今日は1つ紹介します。

仮にわたしに子どもがいて、その子が現在4年生で算数が苦手だったとします。

まずは1年生のドリルを買ってきて、まとめのページをやってもらいます。

このとき、「せっかく買ってきたドリルなんだから、すべてのページをやらせよう」とは思わないでください。

今やっているのはあくまで「習熟度の確認」、つまり「理解が不十分な単元のあぶり出し」なわけです。

まとめページをある程度の時間で9割以上正解できたのであれば、その単元や学年は大丈夫です。

これを2年生、3年生・・・と続けていきます。必ずどこかで「正答率が8割以下」の単元が出てくるはずです。

そうしたら次はそのミスの種類を調べましょう。

計算ミスなのか、問題の把握ミスなのか、そもそもわかっていなくて空欄だったのか・・・などなど。

そしたら今度はそれを練習して、精度を上げるようにしていきます。

そうやって苦手の根源となる部分をつぶしていくのです。

わたしがかつて担当した中学2年生の生徒さんで、連立方程式の文章題で点がとれないという男の子がいました。

その子の苦手の根源は2ケタ×1ケタのかけ算にありました。

2ケタ×1ケタが苦手なため、2ケタの割り算の精度がかなり下がっていたのです。

 

算数・数学が苦手な生徒さんは、「わからない、つまらない、やりたくない」の悪循環に陥っています。

算数・数学はわかるようになると楽しい科目だということも、先のデータに表れています。

もしお家で克服の第一歩を始める場合は、迷わず1年生のドリルから始めてみてください!

わかるようになったとき、きっと見える景色が大きく変わるはずですから。